Les branches infinis
Les droites asymptotiques
proposition
Soit $f$ une fonction numérique et $\left( \mathcal{C}_f \right) $ sa courbe dans un repère orthonormé. on a les interprétation suivantes:
- si $$ \lim_{x \mapsto \pm \infty} f(x)= b \: / \: b\in \mathbb{R}$$ alors $\left( \mathcal{C}_f \right) $ admet la droite d'équation $y=b$ comme asymptote horizontale au voisinage de $ \pm \infty$.
- si $$ \lim_{x \mapsto \pm a} f(x)= \pm \infty$$ alors $\left( \mathcal{C}_f \right) $ admet la droite d'équation $x=a$ comme asymptote verticale au voisinage de $ a$ .
- si $$ \lim_{x \mapsto \pm a} f(x)-(ax+b)=0$$ alors $\left( \mathcal{C}_f \right) $ admet la droite d'équation $y=ax+b$ comme asymptote oblique au voisinage de $\pm \infty$ .
Les branche infinis
proposition
Soit $f$ une fonction numérique et $\left( \mathcal{C}_f \right) $ sa courbe dans un repère orthonormé. on a les interprétation suivantes:
- si $$ \lim_{x \mapsto \pm \infty} f(x)= \pm \infty\: et \:\lim_{x \mapsto \pm \infty} \frac{f(x)}{x}= \pm \infty $$ alors $\left( \mathcal{C}_f \right) $ une branche parabolique orienté vers l'axe des ordonnés.
- si $$ \lim_{x \mapsto \pm \infty} f(x)= \pm \infty\: et \:\lim_{x \mapsto \pm \infty} \frac{f(x)}{x}= 0 $$ alors $\left( \mathcal{C}_f \right) $ une branche parabolique orienté vers l'axe des abscisses.
- si $$ \lim_{x \mapsto \pm \infty} f(x)= \pm \infty\: et \:\lim_{x \mapsto \pm \infty} \frac{f(x)}{x}= a \: et \lim_{x \mapsto \pm \infty} f(x)-ax= \pm \infty $$ alors $\left( \mathcal{C}_f \right) $ une branche parabolique orientée vers la droite d'équation $y=ax$ .
Élément de symétrie d'une fonction
axe de symétrie de symétrie d'une courbe
Soient $f$ une fonction numérique et $\left( \mathcal{C}_f \right) $ sa courbe dans un repère orthonormé et $a \in \mathbb{R}$.
definition
Si la fonction $f$ vérifie:
\[
\left\{
\begin{array}{c c c}
\forall x \in Df :\: x-a \in D_f & \Rightarrow & x+a \in D_f \\ \forall x \in Df :\: f( a – x) &=& f(a + x)
\end{array}
\right.
\]
alors la droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de $f$.
proposition
la droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de $f$ si et seulement si :
\[
\left\{
\begin{array}{c c c}
x \in D_f & \Rightarrow & 2a-x \in D_f \\ \forall x \in Df :\: f(2a-x) &=& f( x)
\end{array}
\right.
\]
voici un cas particulier:
si $f$ est une fonction paire alors la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnés) est un axe de symétrie de$\left( \mathcal{C}_f \right)$.
remarque
L'ensemble d'étude d'une fonction dont la droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie peut être $[a;+\infty [\cap D_f$ ou $]-\infty ;a ] \cap D_f$.
voici une fonction admettant un axe de symétrie.
 |
| exemple d'axe de symétrie d'une fonction |
centre de symétrie de symétrie d'une courbe
Soient $f$ une fonction numérique et $\left( \mathcal{C}_f \right) $ sa courbe dans un repère orthonormé et $\Omega(a,b)$ un point dans le plan.
definition
Si la fonction $f$ vérifie:
\[
\left\{
\begin{array}{c c c}
\forall x \in Df :\: x-a \in D_f & \Rightarrow & x+a \in D_f \\ \forall x \in Df :\: f( a – x) + f(a+x)&=& 2b
\end{array}
\right.
\]
alors le point $\Omega$ est un centre de symétrie de la courbe représentative de $f$.
proposition
le point $\Omega$ est un centre de symétrie de la courbe représentative de $f$ si et seulement si :
\[
\left\{
\begin{array}{c c c}
x \in D_f & \Rightarrow & 2a-x \in D_f \\ \forall x \in Df :\: f(2a-x) &=& 2b-f( x)
\end{array}
\right.
\]
voici un cas particulier:$\\$
si $f$ est une fonction impaire alors le point $O(0,0)$ (l'origine) est un centre de symétrie pour $\left( \mathcal{C}_f \right)$.
remarque
L'ensemble d'étude d'une fonction dont $\Omega(a,b)$ est un point de symétrie peut être $[a;+\infty [\cap D_f$ ou $]-\infty ;a ] \cap D_f$.
exemple
La courbe $\left( \mathcal{C}_f \right)$ de la fonction $f$ définit par $f(x)=\frac{2x+6}{x+1}$ admet le point $\Omega(-1;2)$ comme centre de symétrie.
en effet : on a $ D_f=\mathbb{R}-\lbrace -1 \rbrace$,$\\$
soit donc $x \in D_f$ alors $x \neq -1$ donc $-x \neq 1$ par suite $2.(-1)-x \neq 2.(-1)+1 $ $\\$
ceci implique que $2.(-1)-x \neq-1 $ d'où $2.(-1)-x \in D_f $ $\\$
d'un autre part on a $f(2.(-1)-x )=f(-2-x)=\frac{2(-2-x)+6}{-2-x+1}=\frac{2-2x}{-1-x}$ $\\$
donc $f(2.(-1)-x) =\frac{2x-2}{1+x}$$\\$
et $2.2-f(x)=4-\frac{2x+6}{x+1}=\frac{4(x+1)-2x-6}{x+1}=\frac{2x-2}{x+1}$
d'où $$f(2.(-1)-x)= 2.2-f(x) \: \forall x \in D_f $$
on conclut que le point $\Omega(-1;2)$ est centre de symétrie e $\left( \mathcal{C}_f \right)$.
Fonction périodique
Soient $f$ une fonction numérique et $\left( \mathcal{C}_f \right) $ sa courbe dans un repère orthonormé et $T \in \mathbb{R}$.
definition
Si la fonction $f$ vérifie:
\[
\left\{
\begin{array}{c c c}
x \in D_f & \Rightarrow & x+T \in D_f \\ \forall x \in Df :\: f( x+T)&=& f(x)
\end{array}
\right.
\]
alors la fonction $f$ est périodique de période $T$.
exemple
Les fonction $\sin$ et $\cos$ sont périodique de période $T=2\pi$
remarque
L'ensemble d'étude d'une fonction périodique de période $T$ peut être réduit à $[0;T]\cap D_f$ ou $[-T;0]\cap D_f$ ou $[T;T+1]\cap D_f$ ou généralement à l'intersection de $D_f$ et un intervalle de longueur $T$.
exemple
la fonction $f$ définit par $f(x)=sin(4x)+cos(2x)$ est périodique de période $T=\pi$.
en effet on a $D_f=\mathbb{R}$ donc si $x\in D_f$ alors automatiquement $x+\pi \in D_f$$\\$
soit maintenant $x \in D_f$ on a $f(x+T)=f(x+\pi)=sin(4x+4\pi)+cos(2x+2\pi)$$\\$
alors $f(x+T)=f(x+\pi)=sin(4x)+cos(2x)=f(x)$
on conclut que $f$ est périodique de période $T=\pi$
$\\$
voici la courbe d'une fonction périodique de période $T=2\pi$
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| exemple de fonction périodique |
convexité et concavité d'une courbe
Soient $f$ une fonction numérique définit sur un intervalle $I$ et $\left( \mathcal{C}_f \right)$ sa courbe dans un repère orthonormé.
definition
- On dit que $\left( \mathcal{C}_f \right)$ est convexe si elle situe au dessus de tous ces tangente.
- On dit que $\left( \mathcal{C}_f \right)$ est concave si elle situe au dessous de tous ces tangente.
- Si $\left( \mathcal{C}_f \right)$ change de concavité en un point $A$ alors $A$ est dit un point d'inflexion pour $\left( \mathcal{C}_f \right)$.
theoreme
Soit $f$ une fonction numérique définit et dérivable de fois sur un intervalle $I$, on a:
- si $f">0$ sur $I$ alors $\left( \mathcal{C}_f \right)$ est convexe sur $I$.
- si $f"<0$ sur $I$ alors $\left( \mathcal{C}_f \right)$ est concave sur $I$.
- si $f"$ s'annule en $x=a$ en changeant de signe alors le point $A(a;f(a))$ est un point d'inflexion pour $\left( \mathcal{C}_f \right)$.
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