Série d'exercices Arithmétique dans $\mathbb{N}$

exercice 1

parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont divisible par $3$ . $$ 777 ; 72174 ; 213 ; 111 ; 5777 ; 5218 $$

exercice 2

montrer que les nombres suivants sont premiers: $$ 67 ; 83 ; 1559 ; 8367 $$

exercice 3

décomposer en facteurs premiers les nombres suivants: $$ 100 ; 210 ; 333 ; 2300 ; 10000 $$

exercice 4

dans chaque cas décomposer en facteurs les nombres $a$ et $b$ et en déduire $PGCD(a;b)$ et le $PPCM(a;b)$:

• $a=20$ et $b=30$
• $a=169$ et $b=91$
• $a=170$ et $b=50$
• $a=24$ et $b=36$

exercice 5

décomposer en facteur premier les deux nombres $2356$ et $1612$ et en déduire la forme la plus réduite de la fraction $\frac{2356}{1612}$.

exercice 6

1. montrer que si $n$ divise $a$ et $b$ alors il divise $a+b$ et $a-b$.
2. montrer que si $a$ est un multiple de $n$ et $b$ est un multiple de $m$ alors $ab$ est un multiple de $nm$.

exercice 7

soit $n$ un entier naturel.

1. montrer que $n^2+3n+4$ et $n^2-3n+4$ sont paires.
2. montrer que $4$ divise $n^2-n^2+16$.

exercice 8

1. soit $k$ un nombre entier naturel. montrer que $(k+1)k$ est paire.
2. soit $n$ un nombre impaire. monter que $8$ divise $n^2-1$ et en déduire que $16$ divise $n^4-1$.
3. soit $a$ et $b$ deux entier naturel impaire. montrer que $8$ divise $a^2+b^2-2$.

exercice 9

deux voitures font des tours dans un circuit fermé, le départ se fait à $12h:00 min$ telles que : la voiture $A$ traverse le trajet en $30 min $ tandis que la voiture le traverse en $ 36 min$ \\ dans quelles heure les deux voiture se rencontre au départ . dans ce cas combien de tours a fait chacune des deux voitures.