étude d'une fonction paire ... un problème corrigé

problème

on considère la fonction $f$ définit sur $\mathbb{R}$ par :$$ f(x)=\frac{x^2}{x^2+1} $$

1. montrer que la fonction $f$ est impaire.
2. vérifier que $f$ est majorée par le nombre $M=1$.
3. monter que $f$ admet une valeur minimale absolue en point $x=0$.
4. étudier le sens de variation de $f$ su $\mathbb{R}^+$.
5. en déduire la variation de $f$ sur $\mathbb{R}^-$.
6. en déduire l'image de $\mathbb{R}$ par $f$.
7. calculer les limites de $f$ au bord de $D_f$.
8. tracer la courbe représentative de $f$.

correction

1. montrons que la fonction $f$ est impaire. $\\$ soit $x\in D_f$ alors $ x\in \mathbb{R}$ donc $-x \in \mathbb{R}$ donc $-x \in D_f$ $\\$ d'autre part on a: $$ f(-x)=\frac{(-x)^2}{(-x)^2+1}=\frac{x^2}{x^2+1}$$ car $(-x)^2=x^2$ $\\$ d'où $f$ est paire.
2. soit $x \in \mathbb{R}$, on a: $$f(x)-1=\frac{x^2}{x^2+1}-1=\frac{x^2-x^2-1}{x^2+1}=\frac{-1}{x^2+1}<0 d="" donc="" e="" est="" f="" forall="" in="" left="" li="" major="" mathbb="" o="" par="" right="" x="">
3. on a $f(0)=0$ de plus le dénominateur et le numérateur de $f$ sont positive donc :$$ \left( \forall x \in \mathbb{R}\right) \: f(x) \geq 0$$ d'où $f$ admet une valeur minimale en $x=0$ qui est $m=0$.
4. pour étudier la variation de $f$ on peut calculer la dérivée de $f$ mais on peut aussi suivre la stratégie suivante : $$f(x)=\frac{x^2+1-1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}$$ soient maintenant $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}^+$, on a: \[ \left. \begin{array}{c c l} x < y & \Rightarrow & x^2 < y^2 \\ \\ & \Rightarrow & x^2+1 < y^2+1 \\ \\ & \Rightarrow & \frac{1}{x^2+1} >\frac{1}{y^2+1} \\ \\ & \Rightarrow & -\frac{1}{x^2+1} < -\frac{1}{y^2+1} \\ \\ & \Rightarrow & 1 -\frac{1}{x^2+1} < 1-\frac{1}{y^2+1} \\ \\ & \Rightarrow & f(x) < f(y) \end{array} \right. \] on conclut que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.
5. comme $f$ est paire et est croissante sur $\mathbb{R}^+$ alors elle est décroissante sur $\mathbb{R}^-$.
6. remarquons que $$ \lim_{x \to \pm \infty } f(x)=1$$ alors $ \left( \mathcal{C}_f\right) $ admet la droite d'équation $y=1$ comme asymptote horizontale au voisinage de $\pm \infty $. $\\$ le tableau de variation de $f$ est le suivant :  

   

   tableau de variation d'une fonction $f$

7. on remarque ( voir le tableau de variation ) que $f\left( \mathbb{R} \right) =\left[0;1 \right[ $
8. voilà la courbe de $f$.