Limite d'une suite numérique

Limite d'une suite numérique

Limite finie d'une suite numérique

Soit $\left( U_n\right)_{n\geq n_0}$ une suite numérique et $l$ un nombre réel, on dit que $l$ est la limite de la suite $\left( U_n\right)_{n\geq n_0}$ si "à chaque fois que $n$ prend de grandes valeurs $U_n$ prend des valeurs proche de $l$". dans ce cas on écrit: $$ \lim_{n \to + \infty} U_n=l$$
exemple
  1. $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}=0$
  2. $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^2}=0$
  3. $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^p}=0 \: ;\: p \in \mathbb{N}^*$

Limite infinie d'une suite numérique

Soit $\left( U_n\right)_{n\geq n_0}$ une suite numérique , on dit que la limite de la suite $\left( U_n\right)_{n\geq n_0}$ est $+\infty$ si "à chaque fois que $n$ prend de grandes valeurs $U_n$ prend aussi de grandes valeurs". dans ce cas on écrit: $$ \lim_{n \to + \infty} U_n=+\infty$$
exemple
  1. $\lim_{n \to + \infty} n =+\infty$
  2. $\lim_{n \to + \infty} n^2=+\infty$
  3. $\lim_{n \to + \infty} \sqrt[p]{n}=+\infty \: ;\: p \in \mathbb{N}^*$
  4. $\lim_{n \to + \infty} n^p=+\infty \: ;\: p \in \mathbb{N}^*$

remarque
  • les propriété des limites des fonctions restent valables pour les limites des suites numériques.
  • les formes indéterminées en cas des fonctions restent indéterminées en cas des suites .

définition
  • si la suite $\left( U_n\right)_{n\geq n_0}$ admet une limite finie on dit qu'elle est convergente.
  • si la suite $\left( U_n\right)_{n\geq n_0}$ n'admet pas de limite ou admet une limite infinis on dit qu'elle est divergente .
  • toute suite constante est convergente..
  • la suite définie par $u_n=1+\frac{1}{n}$ est convergente de limite $l=1$.
  • la suite définie par $u_n=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}+2$ est convergente de limite $l=2$.
  • la suite définie par $u_n=1+n^2$ est divergente de limite $+\infty$.
  • la suite définie par $u_n=-n^2+\sqrt{n}$ est divergente de limite $-\infty$.
  • la suite définie par $u_n=(-1)^n$ est divergente , elle n'admet pas de limite.

Critères de convergence d'une suite

proposition
Soient $\left( U_n\right)$ et $\left( V_n\right)$ deux suites numériques, avec $ \forall n \geq n_0 \: U_n \leq V_n$, alors :
  • si $\lim_{n \to + \infty} U_n=+\infty$ alors $\lim_{n \to + \infty} V_n=+\infty$.
  • si $\lim_{n \to + \infty} V_n=-\infty$ alors $\lim_{n \to + \infty} U_n=-\infty$.
proposition
Soit $\left( U_n\right)$ , $\left( a_n\right)$ et $\left( b_n\right)$ trois suites numériques, avec $ \forall n \geq n_0 \: a_n \leq U_n \leq b_n$, alors si $$\lim_{n \to + \infty} a_n=\lim_{n \to + \infty} b_n$$ en déduit que $\lim_{n \to + \infty} u_n=\lim_{n \to + \infty} a_n=\lim_{n \to + \infty} b_n$. Montrons que $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin(n^2+n)}{n}=0$. $\\$ on sait que $\left( \forall n \geq 1 \right) $ on a : $-1 \leq \sin(n^2+n) \leq 1$ $\\$ par suite :$\left( \forall n \geq 1 \right) $ on a : $\frac{-1}{n} \leq \frac{\sin(n^2+n)}{n} \leq \frac{1}{n}$ $\\$ or $$\lim_{n \to + \infty} \frac{-1}{n}=\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}=0$$ en déduit que $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin(n^2+n)}{n}=0$
proposition
soit $q \in \mathbb{R}$ on a les cas suivants:
  • si $q>1$ alors $\lim_{n \to + \infty} q^n=+\infty$.
  • si $q \leq -1$ alors la suite $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'admet pas de limite.
  • si $ -1 < q < 1$ alors $\lim_{n \to + \infty} q^n=0$
  • la suite définie par $u_n= \left( \frac{1}{3}\right)^n $ est convergente de limite $l=0$.
  • la suite définie par $u_n=\left( \frac{1}{3}\right)^n+\left( \frac{1}{2}\right)^n+2$ est convergente de limite $l=2$.
  • la suite définie par $u_n=(2)^n$ est divergente de limite $+\infty$.
  • la suite définie par $u_n=-(2)^n+\left( \frac{1}{3}\right)^n$ est divergente de limite $-\infty$.
  • la suite définie par $u_n=(-2)^n$ est divergente , elle n'admet pas de limite
proposition
soit $\left( U_n\right)_{n\geq n_0}$ une suite arithmétique de raison $r$, on a:
  • si $r>0$, alors $\lim_{n \to + \infty} U_n=+\infty$.
  • si $r<0 alors="" infty="" lim_="" n="" to="" u_n="-\infty$.</li">
proposition
Soient $\left( U_n\right)_{n\geq n_0}$ et $\left( V_n\right)_{n\geq n_0}$ deux suites numériques et $l \in \mathbb{R}$ avec $ \forall n \geq n_0 \: \vert U_n -l \vert \leq V_n$, alors : si $\lim_{n \to + \infty} V_n=0$, on déduit que $\lim_{n \to + \infty} U_n=l$.
proposition
  • Si $\left( U_n\right)$ est une suite numérique croissante et majorée alors elle est convergente.
  • Si $\left( U_n\right)$ est une suite numérique décroissante et minorée alors elle est convergente.
proposition
Soit $f$ une fonction définit sur un intervalle $I$ $\\$ on considère la suite numérique définit par : $$ u_{n_0} \in I \:;\: u_{n+1}=f(u_n)$$ si :
  • $f$ est continue sur $I$.
  • $f(I) \subset I$ .
  • la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est convergente.
alors la limite de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est la solution dans l'intervalle $I$ de l'équation: $f(x)=x$