La continuité d'une fonction
La continuité d'une fonction en un point
Activité 1
On considère la fonction numérique définie par :
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
f(x)=\frac{1}{x}+2 \: si \: x \geq 1 \\
f(x)=2x+1 \: si \: x < 1
\end{array} \right.
$$
- Déterminer $D_f$.
- Poser la table de variation de $f$
- tracer la courbe de $f$
Activité 2
On considère la fonction numérique définie par :
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
f(x)=\frac{1}{x} \: si \: x \geq 1 \\
f(x)=2x+1 \: si \: x < 1
\end{array} \right.
$$
- Déterminer $D_f$.
- Poser la table de variation de $f$
- tracer la courbe de $f$
Définition
soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, on dit que $f $ est continue en $ x_0 $ si :
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=f(x_0) $$
Exemple
soit $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
f(x)=\frac{-2x^2-x+1}{x+1} \: : \: x \neq -1 \\
f(-1)=1 \qquad
\end{array} \right.
$$
Calculons la limite de $f $ en $ x_0 = -1 $ et comparons la avec l'image de $ x_0 = -1 $ par $f $,$\\$
on a $$ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{-2x^2-x+1}{x+1} $$
donc $$ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(-2x+1)(x+1)}{x+1} $$
par suite $$ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1} -2x+1 $$
finalement $$ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = 3 $$
or $ f(-1)=1 $, donc $ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) \neq f(-1) $ $\\$
donc $f $ n'est pas continue en $ x_0 = -1 $
$\\$
Exemple
soit $ g $ la fonction définie sur $\mathbb{R} $ par :
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
g(x)=\frac{x+\tan(2x)}{\sin(3x)} \: : \: x \neq 0 \\
g(0)=1 \qquad
\end{array} \right.
$$
Calculons la limite de $ g $ en $ x_0 = 0 $ et comparons la avec l'image de $ x_0 = 0 $ par $ g $,
on a $$ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+\tan(2x)}{\sin(3x)} $$
donc $$ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+2x\frac{\tan(2x)}{2x}}{ 3x \frac{\sin(3x)}{3x}}$$
par suite $$ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+2\frac{\tan(2x)}{2x}}{ 3 \frac{\sin(3x)}{3x}} $$
finalement $$ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \frac{3}{3}=1 $$
or $ g(0)=1 $ donc $ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = g(0) $
donc $g $ est continue en $ x_0 = 0 $
$\\$
Remarque
dans le cas de la fonction $ g $ on a utiliser les limites remarquables:
$$
\lim_{X \rightarrow 0} \frac{sin(X)}{X}=1 \qquad ; \qquad \lim_{X \rightarrow 0} \frac{tan(X)}{X}=1
$$
L'interprétation géométrique d'une fonction continue
soit $ f $ une fonction numérique définie en $ x_0 $ , on a les cas suivants:- si $ f $ est continue en $ x_0 $, alors son allure est sous forme:
- si $ f $ n'est pas continue en $ x_0 $, alors son allure est sous forme:
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 |
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| la fonction valeur absolue est continue en $x_0=0$ |
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| $x \mapsto \sqrt{ |-x^2+4|}$ est continue en $x_0=2$ et en $x_0=-2$ |
Remarque
Finalement :
Une fonction est dite continue lorsque le tracé de sa courbe représentative se fait sans lever le crayon.
$\\$
Exercice
Soit $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
f(x)=3\sqrt{x}-2x+5 \: : \: x > 4 \\
f(x)=(x+k)^2 \: : \: x \leq 4
\end{array} \right.
$$
déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit continue en $x_0=4$
$\\$
Exercice
Soit $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
f(x)=\frac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1} \: : \: x \neq 1 \\
f(1)=3/4 \: : \:
\end{array} \right.
$$
déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit continue en $x_0=1$
La continuité à gauche et à droite
Activité 1
On considère $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
f(x)=\frac{1}{x^2} \: : \: x < 0 \\
f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \: : \: x > 0 \\
f(0)=1 \qquad
\end{array} \right.
$$
- calculer la limite à gauche et la limite à droite de $f $ en $x_0=0 $
- que remarquez vous ?
Définition
soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, on dit que $f $ est continue à droite en $ x_0 $ si :
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x)=f(x_0) $$
soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, on dit que $f $ est continue à gauche en $ x_0 $ si :
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x)=f(x_0) $$
$\\$
soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, alors: $f $ est continue en $ x_0 $ si et seulement si $f $ est continue à droite et à gauche en $ x_0 $.
$\\$
Exercice
On considère $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
f(x)=\frac{x}{x+1}+1 \: : \: x < 0 \\
f(x)=\frac{x^2-1}{x+3} \: : \: x > 0 \\
f(0)=1 \qquad
\end{array} \right.
$$
étudier la continuité de $f $ en $x_0=0 $
$\\$
Correction
étudions la continuité de $f $ en $x_0=0 $
On a $f(0)=\frac{0}{0+1}=0 $ $\\$
d'un autre coté , $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{x^2-1}{x+3} $$
donc $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)= \frac{-1}{3} $$
d'autre part , $$ \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow 0^-} =\frac{x}{x+1}+1 $$
donc $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)= 0+1 $
$\\$
finalement $ \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=f(0) $ et $ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) \neq f(0) $
alors $f$ est continue à gauche mais non à droite de $0$
Prolongement par continuité d'une fonction
Définition
soit $f $ une fonction non définit en $ x_0 $, mais elle admet une limite finis $ l \in \mathbb{R}$, la fonction $g$ définit par:
$$
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
g(x)=f(x) \: : \: x \neq x_0 \\
g(x_0)=l \qquad
\end{array} \right.
$$
est continue en $x_0$. cette fonction est dite Prolongement par continuité de $f$.
$\\$
Exercice
On considère $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R}-\{0;1;1/2\} $ par :
$$
f(x)=\frac{3x^2-x-2}{x(x-1)(1-2x)}
$$
- calculer les limites de $f $ aux bord de $D_f$.
- $f$ admet-elle un prolongement par continuité en $0$, en $1$ et $1/2$.
Continuité et opérations sur les fonctions
Proposition
Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues en $x_0$ et $ \alpha \in \mathbb{R} $, on a :
- Les fonctions $f+g$, $f \times g $ et $\alpha f $ sont continues en $x_0$.
- Si $ g(x_0) \neq 0 $ alors la fonction $\frac{f}{g}$ est continue en en $x_0$.
- Les fonctions $ f^n , n \in \mathbb{N} $ et $\vert f \vert $ sont continues en $x_0$.
1 Commentaires
c'est riche en informations ; cordialement
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